اتصالات رسم في shindig الخاص بك المقبل. unclibraries_commons 

لنفترض أنك تخطط لحفلك القادم وتتألم على قائمة المدعوين. إلى من يجب أن ترسل الدعوات؟ ما هو مزيج من الأصدقاء والغرباء هو المزيج الصحيح؟

اتضح أن علماء الرياضيات قد عملوا على نسخة من هذه المشكلة منذ ما يقرب من قرن. اعتمادا على ما تريد ، يمكن أن تكون الإجابة معقدة.

كتابنا، "العالم الرائع من نظرية الرسم البياني"يستكشف الألغاز مثل هذه ويظهر كيف يمكن حلها من خلال الرسوم البيانية. قد يبدو سؤال مثل هذا صغيراً ، لكنه عرض رائع لكيفية استخدام الرسوم البيانية لحل المشاكل الرياضية في مجالات متنوعة كالعلوم والتواصل والمجتمع.

ولدت لغز

في حين أنه من المعروف أن جامعة هارفارد هي واحدة من أفضل الجامعات الأكاديمية في البلاد ، قد تندهش عندما علمت أنه كان هناك وقت كان فيه هارفارد أحد أفضل فرق كرة القدم في البلاد. ولكن في 1931 ، بقيادة كل الأميركيين الوسطي باري وود، هكذا كانت القضية.

في ذلك الموسم لعب هارفارد بالجيش. في نصف الوقت ، بشكل غير متوقع ، قاد الجيش Harvard 13 – 0. من الواضح أن رئيس جامعة هارفارد قد أزعج قائد الجيش من الطلاب العسكريين أنه في حين أن الجيش قد يكون أفضل من هارفارد في كرة القدم ، إلا أن هارفارد كان متفوقًا في منافسة أكثر علمية.

على الرغم من أن جامعة هارفارد عادت لهزيمة الجيش 14-13 ، إلا أن القائد قبل التحدي المتمثل في التنافس ضد هارفارد في شيء أكثر علمية. تم الاتفاق على أن الاثنين سوف يتنافسان - في الرياضيات. هذا أدى إلى الجيش وهارفارد اختيار فرق الرياضيات. حدثت المواجهة في ويست بوينت في 1933. إلى مفاجأة هارفارد ، فاز الجيش.

أدت المنافسة في جامعة هارفارد في نهاية المطاف إلى مسابقة الرياضيات السنوية للطلاب الجامعيين في 1938 ، ودعا امتحان بوتنام، واسمه وليام لويل بوتنام ، أحد أقارب رئيس جامعة هارفارد. تم تصميم هذا الاختبار لتحفيز التنافس الصحي في الرياضيات في الولايات المتحدة وكندا. على مر السنين واستمرارًا حتى يومنا هذا ، تضمن هذا الاختبار العديد من المشكلات المثيرة للاهتمام والتي غالبًا ما تتسم بالتحدي - بما في ذلك المشكلة التي نوضحها أعلاه.

خطوط حمراء وزرقاء

يحتوي اختبار 1953 على المشكلة التالية (تمت إعادة صياغتها قليلاً): توجد ست نقاط في المستوى. كل نقطة مرتبطة بكل نقطة أخرى بخط إما أزرق أو أحمر. تبين أن هناك ثلاثة من هذه النقاط التي يتم رسم خطوط فقط من نفس اللون.

في الرياضيات ، إذا كان هناك مجموعة من النقاط مع خطوط مرسومة بين بعض أزواج النقاط ، يسمى هذا الهيكل رسمًا بيانيًا. تدعى دراسة هذه الرسوم البيانية نظرية الرسم البياني. في نظرية الرسم البياني ، ومع ذلك ، تسمى النقاط الرؤوس وتسمى الخطوط الحواف.

يمكن استخدام الرسوم البيانية لتمثل مجموعة واسعة من المواقف. على سبيل المثال ، في مشكلة Putnam هذه ، يمكن أن تمثل نقطة الشخص ، الخط الأحمر يمكن أن يعني أن الناس أصدقاء وخط أزرق يعني أنهم غرباء.

تبين أن هناك ثلاث نقاط متصلة بواسطة خطوط من نفس اللون. غاري شارتراند

على سبيل المثال ، دعنا نطلق على النقاط A و B و C و D و E و F ونحدد أحدها ، على سبيل المثال A. من بين الخطوط الخمسة المرسومة من A إلى النقاط الخمس الأخرى ، يجب أن يكون هناك ثلاثة أسطر من نفس اللون.

قل أن الخطوط من A إلى B و C و D كلها حمراء. إذا كان الخط الفاصل بين أيٍّ من B و C و D أحمرًا ، فهناك ثلاث نقاط مع وجود خطوط حمراء بينهما فقط. إذا لم يكن هناك أي خط بين أي من B و C و D أحمر ، فكلها زرقاء.

ماذا لو كان هناك خمس نقاط فقط؟ قد لا تكون هناك ثلاث نقاط حيث يتم تلوين جميع الخطوط بينها. على سبيل المثال ، قد تكون الأسطر A-B ، B – C ، C – D ، D – E ، E – A باللون الأحمر ، مع الأخريات باللون الأزرق.

من الذي رأيناه ، إذن ، أصغر عدد من الأشخاص الذين يمكن دعوتهم إلى حفلة (حيث يكون كل شخصين إما صديقين أو غرباء) بحيث يكون هناك ثلاثة أصدقاء مشتركين أو ثلاثة من الغرباء المتبادلين هو ستة.

ماذا لو كنا نود أن يكون أربعة أشخاص أصدقاء متبادلين أو غرباء متبادلين؟ ما هو أصغر عدد من الأشخاص يجب أن ندعوهم إلى طرف ليكونوا متأكدين من هذا؟ لقد تم الإجابة على هذا السؤال. إنها 18.

ماذا لو كنا نود أن يكون خمسة أشخاص أصدقاء متبادلين أو غرباء متبادلين؟ في هذه الحالة ، يكون أصغر عدد من الأشخاص الذين يدعون لحفلة مكفولة لهذا أمر غير معروف. لا أحد يعرف. في حين أن هذه المشكلة يسهل وصفها وربما تبدو بسيطة نوعًا ما ، إلا أنها صعبة جدًا.

أرقام رامزي

ما كنا نناقشه هو نوع من الأرقام في نظرية الرسم البياني يسمى رقم رامزي. تدعى هذه الأرقام للفيلسوف البريطاني والاقتصادي والرياضي فرانك بلامبتون رمزي.

توفي رمزي في سن 26 لكنه حصل في سن مبكرة جدا على نظرية غريبة جدا في الرياضيات ، مما أدى إلى طرح سؤالنا هنا. لنفترض أن لدينا طائرة أخرى مليئة بالنقاط المتصلة بالخطوط الحمراء والزرقاء. نختار عددًا صحيحًا موجبًا ، يسمى r و s. نريد أن نحصل على نقاط r بالضبط حيث تكون جميع الخطوط بينهما حمراء أو نقاط حيث تكون جميع الخطوط بينهما زرقاء. ما هو أصغر عدد من النقاط يمكننا القيام بذلك؟ هذا ما يسمى رقم رمزي.

على سبيل المثال ، لنفترض أننا نريد أن يكون لدينا ثلاث نقاط على الأقل متصلة بجميع الخطوط الحمراء وثلاث نقاط متصلة بجميع الخطوط الزرقاء. رقم رامزي - أصغر عدد من النقاط التي نحتاجها لتحقيق هذا - هو ستة.

عندما ينظر علماء الرياضيات إلى مشكلة ، فإنهم غالبا ما يسألون أنفسهم: هل هذا يشير إلى سؤال آخر؟ هذا ما حدث مع أرقام رامزي - ومشاكل الأحزاب.

على سبيل المثال ، هنا واحد: خمس فتيات تخطط لحفلة. لقد قرروا دعوة بعض الأولاد للحزب ، سواء كانوا يعرفون الأولاد أم لا. كم عدد الأولاد الذين يحتاجون إلى دعوتهم ليكونوا متأكدين من أنه سيكون هناك دائما ثلاثة أولاد من بينهم بحيث تكون ثلاث من الفتيات الخمس إما صديقات مع الأولاد الثلاثة أو غير مطلقة على الأولاد الثلاثة؟ قد لا يكون من السهل تخمين الإجابة على هذا السؤال. انها 41!

عدد قليل جدا من Ramsey أرقام معروفة. ومع ذلك ، هذا لا يمنع علماء الرياضيات من محاولة حل مثل هذه المشاكل. في كثير من الأحيان ، قد يؤدي الفشل في حل مشكلة واحدة إلى مشكلة أكثر إثارة للاهتمام. هذه هي حياة رياضيات.

عن المؤلفين

غاري شارتراند ، أستاذ متقاعد في الرياضيات ، جامعة ميشيغان الغربية. آرثر بنيامين ، أستاذ الرياضيات ، كلية هارفي مود، و بينغ تشانغ ، أستاذ الرياضيات ، جامعة ميشيغان الغربية

تم نشر هذه المقالة في الأصل المحادثة. إقرأ ال المقال الأصلي.

كتب ذات صلة:

at سوق InnerSelf و Amazon